第七章开始，亚里士多德提出了一些论证，批判以上这些观点。

首先，他是从各单位是否相通这点来论证的。

（甲）如果一切单位没有不同，完全可以彼此相通，那就是数学的数。这样，我们就只有一种“数”，“理念”就不能是数。因为，“人的理念”、“动物的理念”是哪一种“数”呢？每个东西都可以有一个“理念”，人有“人的理念”，动物有“动物的理念”；而“数”，同一个数都是一样而没有不同的，如“3”这个数就有无限多。（当时认为：1+2=3，4—1=3，1×3=3，6÷2=3等等，所以可以有无限个3，但它们都是3，在这点上是没有不同的。）什么是“3的理念”呢？如果这“理念”不是“数”，它就根本不能存在。因为“理念”是从什么本原来的呢？“数”（按照柏拉图的说法）是从“一”和“不定的二”（即“大”和“小”）来的，这就是数的本原。“理念”不是从这样的本原来的，所以不能说“理念”是先于或后于“数”的。（注：1081a5—17。）这就是说，“数”不是由“理念”组成的，“理念”也不是由“数”组成的，所以，“理念”不是“数”。

（乙）假如单位是不相通的，这样的“数”就不能是数学的数，因为组成数学的数的单位是没有不同的。这比较合乎真理。这样的数也不能是“理念的数”。因为柏拉图认为数是由“1”和“不定的二”组成的；在这二者之后，就有2，再有3，4，5等一系列的数。但如在组成“2”的两个单位（它们是不相等的）之中的一个单位先于另一个单位，这个在先的单位也必然先于2。这样，在原始的“1”和“2”之间，就要加进一个在先的单位；在3，4，5……之前也都有这样在先的单位。而且，如果这些单位都不同，则在第一个“1”之后，就没有第二、第三个同等的单位了；在第一个“2”之后，也没有第二、第三个同等的单位了。（注：1081a17—b10。）这就是说，如果各单位都是彼此不相等、不相通的，就根本不可能形成数的系列了。

而且，如果各单位是不相通的，也就不可能有“2自身”、“3自身”和其他数的“理念”了。因为，不管单位是否不同，“数”总只能由相加来计数，例如，1加上另一个1成为2，1加2成为3，等等。但是他们说4是从第一个2和“不定的二”（这是两个不同的2）组成的，这就使得在“2自身”外还有两个不相等的、不同的2；不然，“2自身”就应该是4的一部分了，这个2要再加上另一个2才能成为4，这另一个2就不能是“不定的二”，因为它是要产生一个“确定的二”（注：1081b10—26。），即和原来的2相等、相通的2，才能相加。简单地说，如果“理念的数”的单位是不相通的，它们不能相加，则“理念的数”本身是从何而来的呢？

再说，在“3自身”和“2自身”以外，如何能再有许多个3和许多个2呢？亚里士多德最后说，他们这种学说，都不过是荒谬和幻想而已。（注：1081b27—33。）

显然，如果认为一切单位都是不相等、不相通的，则根本不可能有数的系列，也不能计数，也无法说明什么是“理念的数”，以及为什么在“理念的数”以外还有许多别的数等等。

（丙）如果说，在不同的数中的各单位是不同的，而在同一个数中的各单位则是相同的。亚里士多德认为，由此引起的困难也并不少一些。

1.他举了一个例子，比如，“10”这个数，既可以由它本身的十个单位组成，也可以由两个“5”组成。但是，因为“10”中的单位和“5”中的单位是不同的，怎么能由两个“5”组成“10”呢？（注：1081b35—1082a15。）

2.如果2是和它的两个单位分离开的东西，3是和它的三个单位分离开的东西，这是可能的吗？只有“苍白的人”和“苍白”、“人”是有不同的，因为“苍白的人”既分有了“苍白”，也分有了“人”；或者因为一个是另一个的“属差”，也可以不同，比如“人”不同于“动物”和“双足的”。（注：1082a15—20。）而“2”和它的两个单位不是这样的关系，并不是其中一个单位是“种”，另一个单位是“属差”。它们怎么能分离呢？

3.凡几个东西能成为一个统一体，或者是由于结合，或者是由于混合，或者是由于位置在一起；可是组成2或3的单位，并不是这样成为一的（成为“一个2”或“一个3”的）。由于单位是不同的，正像两个分离的人不能合成一个，单位也是这样，既然单位彼此是不同的、不相等的，它们怎么能合成为一个呢？（注：1082a20—24。）

4.如果各个数的单位是彼此不同的，那就有“在先”和“在后”的问题。从数来说，2先于4，4先于8。拿4这个数说，在4中的两个2即使是同时产生的，而这个4却先于在8中的那两个4；可是，2既产生了4，又产生了在8中的4。如果第一个2是“理念”，别的2又是不同类（不相等）的“理念”。这样，一切单位都成为“理念”，而“理念”就是由几个“理念”组成的。（注：1082a26—36。）

亚里士多德作出结论说：一般说，无论以任何方式说数的单位是不同的，就是荒谬的虚构，只是为了满足假说的需要而杜撰出来的。因为我们看到，在单位和单位之间，无论在数量或是性质上，都是没有不同的。一切数，特别是由抽象的单位所组成的数，都或是相等或是不相等；一个数如果不是大于或小于另一个数，就是它们彼此相等。如果两个事物是相等而没有不同的，我们就说它们是相同的。如果说它们不同，像他们说的“单位是不同的”，即使是“10自身”中的几个2，本来是相等的，但既然认为单位是不同的，则这几个2也将是不同的。人们有什么理由说它们不是不同的呢？（注：1082b1—10。）这就是说，如果是抽象的数的单位，必然是相同的，无论在量或质上，都没有不同，所以它们是相等的，可以相通。如果说单位是有不同的，那么，不但是不同的数的单位彼此不同，即使同一个数（上例中的10）的单位（10中的2）也会彼此不同。这就是上述的第一种看法，即一切单位都是不同、不相等的。亚里士多德已经指出过，从来没有人主张这样的看法，即在一个数（2或3）中的各单位之间有不同。但如果主张不同的数中的单位不同（2中的单位和3中的单位不同），必然会得出同一个数中的单位也不同。所以，第一种看法和第三种看法的结果是一样的。

以下就是从这方面论证的：

1.如果一个单位加上另一个单位，就成为2，则从“2自身”中的一个单位加上“3自身”的一个单位也成为2。可是这个2是由两个不同的单位组成的，那么，这个2是先于3，还是后于3的呢？看来应该是先于3，因为组成它的一个单位是从“2本身”来的，是和2同时产生的。（注：1082b11—19。）

2.如果“3自身”这个数并不大于“2自身”这个数，这是奇怪的；如果它大于“2自身”，那就是在“3自身”中有一个数是等于2的（“3自身”是2加上另一个数，才能大于“2自身”），这个2就是和“2自身”相等的，没有不同的。如果各数的单位不同，“3自身”大于“2自身”也是不可能的。（注：1082b20—23。）

3.在第八章开始时，亚里士多德说，所谓数或单位的不同，究竟是什么不同呢？单位的不同，只能是数量的不同或是性质的不同。但这两方面都是不可能的。因为：

数作为数，如果在数量上是不同的；单位和单位之间在数量上也是不同的，则同样多的单位的数（比如，8和8）也会不同了。那样，是第一个单位大点或小点呢，还是第二个单位要再加点或减点？而这些都是不合理的假定。

它们也不能在性质上不同。因为对于单位说，除了数量之外没有其他的属性，即使对于数说，它也首先是量，然后才能是质。而且，按照柏拉图的说法，数是由最初的“一”和“不定的二”组成的。这“一”是没有性质的，“不定的二”（就是“大”和“小”）也只能给予量，只表示大或小，它只有使事物成为“多”的可能。所以，无论“一”和“不定的二”都没有性质上的不同。

如果还有别的解释，他们就应该在开始时说清楚，所谓单位的不同究竟是什么，为什么单位必须有不同。如果说不清楚，他们所说的不同究竟是什么呢？（注：1083a1—17。）

亚里士多德将以上的批判总结起来：如果像柏拉图学派说的，“理念”就是数，则单位既不能都是相等、相通的，也不能是不相等、不相通的——无论是各个数彼此的单位不相通，而每个数中的单位相通；或是各数彼此的单位和每个数中的单位都不相通（注：1083a17—20。），情况都是一样的。

然后，亚里士多德又批判了其他几种数的理论：

（一）那些不认为有“理念”存在，而认为只有数学的对象存在，并且认为“数”是第一存在，而且有个“一”是“数”的起点的人（指斯潘雪浦），他们也陷于矛盾。因为按照他们的说法，在许多1之前，有一个第一个“一”，而在2、3之前，却没有第一个2和3。人们如果假定只有数学的“数”存在，就不能以这样的“一”作为起点；因为这样的“一”必然与其他单位不同，如果有这样的“一”，就必须有同样的（第一个）2、3等等，可是他们是不承认有这样的2、3的。所以，如果以这样的“一”为起点，就还是柏拉图说得正确，他认为还必须有第一个2、3等，这些第一的数都彼此可以相联、相通。但如果假定这点，又会产生以上所说（注：指1082b37—1083a17。）的一系列不可能的结果。（就是又有两个数的系列了。）不是这个，就是那个，如果二者都不是，就说明“数”是不能分离存在的。（注：1083a20—b1。）如果认为“数”是分离存在的，在许多1之外，还有独立存在的第一个“一”，那就会产生这样不可能的结果。

（二）亚里士多德认为，第三种观点——认为“理念的数”和数学的数是相同的（指色诺克拉底）——是最坏的。因为它有两方面的错误：一方面，数学的数不能是这样的（又是“理念”的）数，这一点乃是他假设加上去的；另一方面，凡是上述以数为“理念”的一切结果，它都要遇到。（注：1083b1—8。）

（三）亚里士多德认为，毕达哥拉斯学派的观点的困难比上面这些观点的困难要少一些，但又有他们自己特有的困难。因为他们不认为数是可以分离存在的，因而就取消了许多（由于分离而引起的）不可能的结果；但是他们又认为物体是由数组成的，而且物体就是数，这也是不可能的。因为他们这样说，就是认为有不可分的（数的单位是不可分的）却占有空间的大小的量（因为数组成具体的物体），这是不可能的。无论如何，单位总不能是占有空间的大小，因为凡占有空间大小的总是可分的，怎么能由不可分的东西组成呢？这些思想家将数和实在的事物等同起来，至少，他们认为物体是由这样的数组成的。（注：1083b7—19。）亚里士多德的意思是：物体是占有空间的大小的，而数却是抽象的、不占空间大小的，怎么能说物体是由数组成的呢？