明朝末年，西方数学传入，开始了中西数学融会贯通的新阶段。清代的数学著作非常多，据有人初步统计，中算家有600多人，著作在千种以上。但是，从总体水平上看，已经落后于西方。

《九章算术》及《九章算术注》

《九章算术》唐宋间又称《九章算经》、《黄帝九章算经》，是中国古代最重要的数学经典。据魏晋间刘徽《九章算术注》序载，西汉时数学家张苍、耿寿昌在秦始皇焚书劫余的残篇的基础上，对该书进行了增订删补。现代研究者认为，《九章算术》并非出自一人一世之手，而是数代人辛勤努力的结晶，最后成书当在西汉末到东汉初年。在中国，该书在千余年间被直接用作数学教育的教科书；它还影响到国外，朝鲜和日本都曾用它当过教科书。

《九章算术》共收集246个应用题，按问题的性质类别分为九章。各章的次序和内容是：1.方田，是关于土地面积的计算，包括矩形、三角形、梯形、圆形、环形、弓形、截球体的表面积的计算。由于计算面积要用到分数，因此这一章还系统讲述了分数的运算。2.粟米，讲的是比例问题，特别是如何按比例交换各种谷物等。3.衰分，是按等级分配物资或按等级摊派税收的比例分配问题。4.少广，是由已知面积和体积，求几何体一边的长，讲的是由田亩计算引出的开平方和开立方的方法。5.商功，包括了各种工程中体积的计算，以及人工的合理安排问题。6.均输，是计算如何按人口多少、物价高低、路途远近等条件，按比例合理摊派税收和派出民工的问题。7.盈不足，是关于算术中盈亏问题的解决，称“盈不足术”。此章中也涉及比例问题。8.方程，主要是关于线性方程组的问题。9.勾股，是关于各种测量和几何计算中勾股定理的应用。

《九章算术》的主要部分采取了以算法统率应用题的形式，即或先列出几个例题，再给出抽象性的术文，此时例题一般只有题目、答案；或先给出抽象性的术文，再列出例题，此时例题一般有题目、答案和具体术文。在九章中，有近百个普遍性公式和解法，已包括现在中小学数学的相当大的一部分内容。如在分数的四则运算、比例、面积和体积、开平方、开立方、正负数、一次方程组、二次方程、勾股定理等方面，书中都有较完备和详细的叙述。

对于分数的运算，我国很早就进行了深入的研究。《周髀算经》的天文计算中就已经有相当复杂的分数运算，但由于没有把约分工作做好，所以算草比较繁复。而在《九章算术》中则给出了包括约分、通分、四则运算等在内的一整套分数运算法则。如书中用“更相减损”术求最大公约数，指出如果分子、分母可以被2整除，就都先除以2，不能被2整除的，则以分母和分子相减，一直减到减数和被减数相等，此数即为最大公约数。这种方法和现代算术中的辗转相除法基本一致，而当时，除了我们的祖先，只有希腊人知道这个方法。《九章算术》是世界上最早系统叙述分数运算法则的著作，类似的著作，印度迟至公元7世纪才出现，而欧洲则在15世纪以后才逐渐形成现代分数的算法。

《九章算术》方程章中的方程术，也就是线性方程组的解法，可以说是这部经典中最杰出的成就。由于中国古代使用算筹表示各项数字，因而书中采用了分离系数法表示方程，相当于现在的矩阵。在解方程中，它所使用的方法叫“直除法”，和现在通用的加减消元法基本一致，是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在欧洲，到17世纪莱布尼兹才提出线性方程组的完整解法，比我国要晚15个世纪还多。在列方程移项、合并同类项(损益术)和消元过程中会出现负数。《九章算术》在这部分中首次引入了负数概念，并提出了正负数的加减法则，而且在实际运算中进行了正负数的乘除。在世界数学史上，这是第一次突破了正数范围，扩充了数系的概念。

“今有(数人)共买物，(每)人出(钱)八，盈三；(每人)出(钱)七，不足四。问人数、物价各几何？”这是《九章算术》盈不足章的一个应用题。书中创造性地应用了两次假设法，来解决这类问题。设人数为x，物价为y；每人出钱为a1，盈为b1；每人出钱为a2，不足为b2，则有下列等式：

这种方法被称为“盈不足术”，书中用它解决盈亏问题和一些数学杂题。“盈不足术”在大约公元9世纪传到阿拉伯，被称为“中国算法”，相同的方法西方直到13世纪才首次在意大利数学家斐波拿契的著作中出现。

形与数密切结合，是《九章算术》的一个重要特色。在勾股章中，几何问题都依据勾股定理来解决，提出了几何图形的面积、体积和测量“高、深、广、远”等问题的解法，反映了当时测量数学的发达以及地图测绘的水平。在计算面积和体积问题时，要遇到许多开方计算。在《九章算术》少广章中，给出了开平方、开立方的方法，它们和现今的开方法基本一致，是世界上最早的开方程序。需要指出的是，用算筹列出几层来进行开平方和开立方的运算，相当于列出一个二次或三次的数字方程，即用上下不同的各层表示一个方程各次项的系数。勾股章有一测望问题就归结到开带从平方，即解二次方程。后来，求解高次方程的正根都称为“开方”，成为中国古代数学中最发达的领域。

《九章算术》取得的数学成就是全面的、杰出的，奠定了它在中国古代数学中的崇高地位，称它为中国算经之首是毫不过分的。该书对以后的数学著作产生了极其深远的影响。从内容上讲，《九章算术》的九部分内容确定了中国古代数学的基本框架，形成了中国古代数学以计算为中心的特点；九章246个问题，大都来自人们生产、生活的实际需要，开创了数学理论密切联系实际的风格；全书没有任何数字神秘主义的内容，体现了朴素的唯物主义观点，并为以后的数学著作树立了榜样。从全书结构上讲，《九章算术》一般有“题”、“答”、“术”三个部分，这种以术统题的方法，逐渐形成了中国古代数学著作的一种基本形式。《九章算术》以后，中国古代数学著作主要采取两种模式，一种是以该书为楷模编写新的著作，一种是为该书作注。

提到为《九章算术》作注，就不能不提到刘徽。刘徽是我国古代一位非常杰出的数学家，生活在公元3世纪。由于《九章算术》产生年代较早，又非出自一人一世之手，所以也有着自身的缺欠。如文字简奥、部分内容抽象程度不高，还有对问题只给出解法和答案，缺乏必要的解释和证明等。刘徽从幼年开始，就反复研究《九章算术》，后来他采集前人研究成果，并融入自己的数学心得，写成了《九章算术注》一书，对《九章算术》进行了全面的解释和论证。

刘徽是我国古代数学理论的奠基者。他在《九章算术注》的序中说：“事类相推，各有攸(所)归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已。”意思是说有许多数学问题，表面上看不相同，但在理论上却有着共同的根源。这种逻辑推理思想，在中国古代数学发展中极为重要。在解释和论证数学问题时，他认为要“析理以辞，解体用图”，既要有语言论述，也要结合图形进行直观的证明。这种数与图结合的方法是中国古代数学证明的一种独特的方法。

刘徽注在数学史上的另一大贡献是用“割圆术”求得圆周率π值。中国古代很长一段时间π值取的是3。刘徽认为这只是圆内接正六边形周长与直径的比率，是不正确的。他首先肯定圆内接正多边形的面积小于圆面积，而将边数屡次加倍后，面积也相应增大，边数越多，那么圆内接正多边形的面积就越接近圆面积。他写道：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”这句话反映了刘徽的极限思想。从计算圆内接正六边形面积开始，刘徽依次计算圆内接正十二、二十四、四十八……一百九十二边形的面积，得到圆周率近似于3.14。据说他还不满意，又继续推算出π=3927/1250(相当于3.1416)的数值，这是当时世界上圆周率的最佳数值。从理论上讲，利用刘徽注中的方法可以将圆周率计算得非常准确。研究者们一般认为，南朝祖冲之在《缀术》中将圆周率精确到八位有效数字，即3.1415926和3.1415927之间，就用了刘徽的方法。刘徽的方法奠定了我国圆周率计算在世界上领先千年的基础。

刘徽注对数学的贡献还有许多方面。如它发展了《九章算术》的率概念，定义率为“凡数相与者谓之率”，即数与数相互关联为率，并讨论了率的性质，用率理论论述了《九章算术》的大部分内容。书中认为今有术是普遍方法，九章中的许多问题的解法都可以归结到此术。今有术即比例方法，已知比例式中的三项求第四项，例如a：b=c：d，已知a、c、b，则d=bc/a。这种方法古代印度也有(三率法)，但有关记载要晚于《九章算术》，16世纪该法由阿拉伯人传入欧洲，在商业上得到广泛应用，被誉为黄金法则。另外，刘徽注中对求弧田面积、圆锥体积、球体积、十进分数、解方程等问题，以及对分数性质的论述、正负数的定义等，都有独到的见解。

刘徽的注，修正了《九章算术》中的错误，发展了其中的数学理论，充实和完善了《九章算术》的数学体系，是所有为《九章算术》作注的著作中最重要的一部。

《数书九章》

南宋秦九韶撰写的《数书九章》是中国古代重要的数学著作，宋元数学高潮的代表作之一。

秦九韶(约公元1202—约1261年)字道古，自称为鲁郡(今山东曲阜、兖州一带)人，生于普州安岳县(今四川安岳县)，是南宋著名的数学家、天文学家。他18岁就当过义兵的首领，但后来在仕途上却历经曲折。秦九韶自幼聪明好学，而且兴趣广泛。他对于天文、音律、算术、营造等都有深入的研究，至于游戏、弓马、踢毬、剑术等，对他来讲也是驾轻就熟的。可以说秦九韶是一个不可多得的通才，这对于他以后博采众长、触类旁通，在数学上取得巨大成就，不能说没有影响。公元1247年，秦九韶总结了自己多年数学研究的心得，写成《数书九章》。

《数书九章》，又名《数术》、《数术大略》、《数学大略》、《数学九章》等，《数书九章》的书名是明代后期才出现的。至于原来的书名到现在还不能确定。该书写成后没有马上刊印，仅有抄本流传，明代将它分类辑入《永乐大典》，清代又从《永乐大典》中抄出，收入《四库全书》。另有一部自明文渊阁辗转传抄出的本子，经沈钦裴、宋景昌汇集各家注释并进行校勘，于清道光二十二年(公元1842年)由上海郁松年刻入《宜稼堂丛书》，是最为流行的版本。

《数书九章》全书81问，分为九大类，每类各九问。九大类分别是：1.大衍类，叙述“大衍求一术”并用之解决各种实际问题；2.天时类，有关历法制定、天象测算、计算降雨降雪量等的数学问题，其中的天池盆是世界最早的雨量器；3.田域类，是关于各种形状的田地面积的计算，反映了江南人民围海、围湖造田等活动；4.测望类，讨论勾股测量，涉及测望山、水、城、塔和敌军的远近以及古迹的修复等问题；5.赋役类，是关于田赋、户税问题的计算，反映了南宋赋税的实际情况；6.钱谷类，是关于粮食转运和仓库容积问题，设计了由于南宋各地加大量器、增加田租造成器量混乱而带来的数学计算问题，还记载了南宋发行世界上最早的纸币会子及新旧会子的兑换情况；7.营建类，解决的是工程施工中的数学计算，其中计造清台问是世界上现存最早的天文台设计图；8.军旅类，是关于营盘布置、测算敌方人数，以及军需供应等方面的问题，这和当时宋金、宋元战事激烈有关，有为战争服务的目的，在古代算书中比较少见；9.市易类，处理商业贸易和利息计算等问题，保存了许多南宋商品交易和相关政策的史料。