从《数书九章》的分类和内容上看，很明显，它受《九章算术》的影响是深刻的，与现实生活有着紧密的联系，反映了当时社会经济、文化、政治、科学技术等各种活动的一个侧面。秦九韶在本书的自序中曾说：数学“大则可以通神明，顺性命，小则可以经世务，类万物”，将数学提到了极高的地位。但是，他将数学与世界本源联系起来，认为“数与道非二本也”，又说明他受到了当时理学思想和象数学的影响。

“大衍求一术”是秦九韶最得意的杰作，也是中国古代数学的一项伟大成就，因此秦九韶将它放在该书的首位是非常合适的。早在公元4世纪前，《孙子算经》中提出过这样一个问题，用现在的话说就是：有一个数，用3除它余2，用5除它余3，用7除它余2，求这个数。这就是著名的“孙子问题”，也是一个一次同余式组的问题。在中国古代历法中推算上元积年，也遇到了解同余式组的问题。对于这类问题，《孙子算经》给出的解法过于简略，而历法中也没有形成系统的算法，甚至误认为是线性方程组的解法。直到秦九韶的《数书九章》才首次比较系统地解决了这类问题。秦九韶方法的关键是用“奇数”和“定数”辗转相除及一整套计算程序，求出满足要求的“乘率”。因为计算“乘率”的辗转相除要直到最后余数为1时止，所以秦九韶把它称为“求一术”。在秦九韶的问题中，数据可以是整数，也可以是分数、小数，他都给出了相应的化解程序。总之，秦九韶在世界上第一次系统地解决了一次同余式组问题，而且计算步骤相当严密。过了500多年，欧洲的尤拉和高斯等人才对联立一次同余式进行了较为深入的研究。“大衍求一术”被介绍到西方后，引起了欧洲学者的高度重视。西方数学史家称这一定理为“中国剩余定理”，德国著名数学史家康托称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的天才”。

在该书的第二——九类，秦九韶使用了《九章算术》以来的许多数学方法，并有创造性发展，其中最重要的是求高次方程正根的正负开方术。在我国古代，解一般高次数字方程叫做“开方”，《九章算术》中就已经记载了开平方和开立方的方法，后来一般的二次方程和三次方程的数值解法，分别被称为“开带从平方”和“开带从立方”，就是因为它们都是从开平方和开立方的方法中推衍出来的。开方术在宋代取得了重大发展。首先是贾宪创造了“增乘开方法”，通过随乘随加的方法，可以求出高次方程的正根。12世纪刘益又引入负系数开方，方程的系数可正可负，取消了方程系数只允许为正整数的限制。到了南宋，秦九韶在《数书九章》中提出了“正负开方术”，也就是利用随乘随加逐步求出高次方程正根的一套完整的程序。在秦九韶的方法中，除因运算需要规定“实”(常数项)常为负之外，没有任何限制，是任意高次方程的一般解法，和现在求高次数字方程正根的方法基本一样。而现代算法是意大利人鲁斐尼在1804年和英国人霍纳在1819年提出的，也就是人们熟知的鲁斐尼—霍纳方法，比秦九韶晚了600多年。秦九韶还发挥了刘徽创造的继续开方计算“微数”的思想，开方到无理根时，用十进小数作无理根的近似值，这也是世界数学史上最早的贡献。

《数书九章》的数学成就还表现在更多方面。在方程术上，也就是线性方程组的解法上，它使用了互乘相消法，即让两个方程的x项系数互乘各方程，用一次相减就可以达到消去x项的目的。这种方法免去了直除法连续相减的麻烦，和今天人们普遍应用的方法完全一样。该书中还将《九章算术》和《海岛算经》中的测望之术发扬光大，对勾股、重差问题有许多创造发明。特别值得一提的是“三斜求积公式”，即用三角形三边求面积的公式，它和西方的海伦公式是各自独立发明的，却又不谋而合。另外，《数书九章》中对自然数、分数、小数、负数都有专条论述，并有所发展，是研究中国古代记数法的重要资料。

《数书九章》的数学成就远远超过了在此之前的数学著作，仅就一次同余式组解法和高次方程数值解法两项来说，已代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平，是中国数学史上光彩夺目的一页。

《四元玉鉴》

元代朱世杰著的《四元玉鉴》是宋元数学高潮的又一部代表作，在中国古代数学史上有着重要地位。

朱世杰(生卒年不详)，字汉卿，自号松庭，家住燕山，也就是今天的北京附近。元朝统一中国后，结束了南北对峙的局面。朱世杰曾在全国各地周游20多年，一面进行数学研究，一面从事数学教育活动。通过长期和广泛的游历，他对南北数学研究所取得的成就都有深入的了解，成为身兼两个数学中心之长的著名学者。当朱世杰游至扬州时，四面八方来向他学习的人日益增多。为了满足学员的要求，他便开始著书，以供学员们使用。公元1299年，他写成《算学启蒙》，由赵元镇刊刻印行。1303年，《四元玉鉴》完成，也由赵元镇刊印。

《四元玉鉴》全书三卷，共24门，288问。书首先给出四种图；古今开方会要之图，给出了增乘开方法的图示和九层八次方的贾宪三角；四元自乘演段之图、五和自乘演段之图、五较自乘演段之图则是图示处理几何问题时立方程的各个步骤。四图之后是假令四草，给出了一气混元、两仪化元、三才运元、四象会元四个例题，分别阐述天元术、二元术、三元术、四元术的解题模式。这些图和例题都是为了举例发凡，是统御全书的纲纪。在全书其他各问中，朱世杰没有再记出任何一题的算草。这种写作形式在中国古代数学著作中是一种独特的创造。之后是各卷内容。上卷六门：1.直段求源，关于勾、股、弦的计算问题；2.混积问元，田亩面积问题；3.端匹互隐，有关绫、罗等纺织品的各种计算；4.廪粟回求，谷物容积问题；5.商功修筑，工程建筑问题；6.和分索引，关于分数的各种运算。中卷10门：1.如意混和，把性质不同的问题混和以增加问题难度；2.方圆交错，有关方、圆的混合问题；3.三率究圆，以古率π=3、微率157/50、密率22/7计算有关圆与球的问题；4.明积演段，与勾股形(直角三角形)有关的各种计算；5.勾股测望，用勾股定理及相似勾股形测算距离；6.或问歌彖〔tuan〕，以诗歌形式给出的问题；7.茭草形段，垛积问题；8.箭积交参，关于方箭、圆箭的垛积问题；9.拨换截田，截割田亩的面积问题；10.如象招数，招差术问题。下卷八门：1.果垛叠藏，垛积问题；2.锁套吞容，相互交错的图形的面积计算；3.方程正负，线性方程问题；4.杂范类会，是各种杂题；5.两仪合辙，关于勾股及面积的二元二次方程组；6.左右逢元，关于勾股及面积的二元高次(三次以上)方程组；7.三才变通，关于勾股问题的三元方程组；8.四象朝元，关于勾股问题的四元方程组。

在《四元玉鉴》中，几乎所有问题都与方程或方程组有关，其中主要记载了朱世杰的伟大创造——四元术。我们知道，用解方程的方法解决实际问题，一般来说都需要两个步骤。首先是列出含有未知数的方程，然后才是解方程求出它的根来。列方程，古代称“造术”，这对于今天具备初等数学知识的人来说是轻车熟路，然而在天元术未出现以前，却并不简单。当时数学家们列方程只有借助文字叙述，非常复杂。金元之际，北方出现了一批有关天元术的著作，李冶的《测圆海镜》是现存最早系统论述天元术的著作。所谓“天元术”，实际上是列方程的一种代数方法。天元术中“列天元一某某”，就是“设x为某某”的意思，方法是在筹算的一次项旁写上“元”字，或在常数项旁写上“太”字。天元术的出现解决了一元高次方程的列方程问题。据记载，李德载的《两仪群英集臻》和刘大鉴的《乾坤括囊》分别对二元术和三元术作了研究，但他们的著作都没有流传下来。流传至今并将其发展成四元术的是朱世杰的《四元玉鉴》。四元术用天、地、人、物四元表示四元高次方程组。它是在常数项右侧记一“太”字，天、地、人、物四元和它们的乘幂的系数分别列在“太”字的下、左、右、上，相邻二未知数和它们的乘幂的积的系数，记入相应的两行相交的位置上，不相邻的几个未知数的积的系数，记入相应的夹缝中。这实际上是多元高次方程组的分离系数表示法。朱世杰还创造出一套完整的消未知数方法，称为四元消法。通过逐次消元，最后得到只含一元的方程式，然后用增乘开方法求正根。虽然由于受到筹算的局限，朱世杰只达到四元高次方程，但这一成果却在世界上长期处于领先地位。直到18世纪法国数学家别朱才系统叙述了高次方程组消元法问题。

垛积招差术，即高阶等差级数求和，是《四元玉鉴》中的另一项重大成就。它们主要被记载于茭草形段、如象招差、果垛叠藏三门中。关于垛积的研究，最早的要算是沈括，在《梦溪笔谈》中，他为计算用酒坛堆积的长方台的酒坛数，提出了一个新的计算公式——隙积术，其后杨辉又给出了三角垛、方垛、果子垛等公式，但这些公式实际上可以看成沈括隙积术的特例。到了朱世杰，垛积术的研究出现了全新的局面。《四元玉鉴》中的垛积公式共有三大类：1.三角形，包括茭草垛、三角垛(或称茭草落一形垛)、三角撒星形垛(或称三角落一形垛)、三角撒星更落一形垛；2.岚峰形，包括四角垛、岚峰形垛、三角岚峰形垛(或称岚峰更落一形垛)；3.值钱形(垛积物的价格逐层递增或递减)，包括茭草值钱正垛、茭草值钱反垛、三角值钱正垛、三角值钱反垛、四角值钱正垛、四角值钱反垛。三类中，三角形垛积公式是最基本的。由于朱世杰在书前的贾宪三角中增加了平行于两斜边的连线，再加上他用“落一”、“更落一”表示几种三角垛积的关系，所以，人们认为朱世杰已掌握了一般三角形垛的求和公式。同样道理，朱世杰也掌握一般岚峰形垛的求和公式，而第三类公式可以从前两类公式推导而出。

《四元玉鉴》中的招差问题和垛积问题互为表里，也是该书最精彩的部分之一。在朱世杰以前，招差问题是独立发展的一门知识，它和我国古代历法中计算天体运行有着密切关系。公元206年，刘洪在《乾象历》中首次提出用一次内插法计算月亮的变速运动，隋初刘焯《皇极历》中使用了二次内插法，到元代郭守敬等人已采用三次差分的内插法原理计算日月五星的运动。而朱世杰则将垛积和招差联系起来，在世界上第一次给出了包括四次差的内插公式。书中明确指出，公式中的各项系数是三角垛的积。由于朱世杰已经掌握了三角形垛的构造规律，所以一般认为他已得到任意高次的内插法公式。在欧洲，直到17世纪格列高里、牛顿等人才取得同样的结果。