第三章 数学——《九章算术》及《九章算术注》、《数书九章》、《四元玉鉴》  

直到明中叶以前，在数学的许多分支领域内，中国在世界上一直处于遥遥领先的地位。传说早在黄帝时代，隶首就创造了数字符号和计算方法。《史记》中记载大禹治水时已使用了规、矩、准绳①。从出土文物看，公元前三四千年的西安半坡遗址和公元前二千年的河南偃师二里头遗址出土的陶文中就有了数字；而通过对商代甲骨文中数字的研究，我们发现其中已具有了位置值制的萌芽，形成了十进制的数字系统。十进制记数法是我国古代人民对世界人民的一项不可磨灭的贡献。

在我国的上古及夏商周时代，一些专门技能和知识往往掌握在少部分人手中，并且世代相传。那时数学和天文的专门人才被称为“畴人”。到了春秋时代，周室衰微，政权下移，畴人子弟四散，私学开始兴起，数学知识逐渐普及。同时生产的发展，也促进了数学知识和计算技能的提高。从古代文献中我们得知，九九乘法表在当时是人们的常识，分数概念和分数运算也已形成，特别是像营造都城这样的大型土木工程，无疑需要更为复杂的数学运算。可见，春秋时代我国的数学已有了较高的水平，只是没有专门的数学著作传世而已。

战国至西汉，是我国以《九章算术》为代表的古代数学体系确立的时期。在春秋战国之交，我国社会完成了生产关系的转变，人们的生产积极性大为提高，兴修水利，开垦土地，改进耕作技术，同时手工业和商业也得到进一步发展。在这些活动中，数学知识得到普遍应用，为数学的发展提供了新的动力。如《考工记》中就有许多表示直角、钝角、锐角和分数等的专门术语。这时的思想界也异常活跃，诸子兴起，百家争鸣，不仅在社会文化方面取得了丰硕的成果，而且促进了思维规律方面的研究。其中的墨家和名家尤为重视逻辑推理和理性思辨，他们提出的一些命题具有深刻的数学内涵。像《墨经》中关于圆、平、端(点)等数学概念的定义就已十分严谨。应该说这时已具备了对数学知识进行总结整理的条件。据《周礼》记载，当时“士”阶层所受的数学教育有“九数”之称。“九数”指的是数学分为九个细目。东汉郑玄注《周礼》时引郑众之说：九数是“方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要。”这与现传《九章算术》的篇目基本相同，只是第九为旁要而不是勾股。《周礼》一般认为成书于战国，因此，至迟在战国时代，由九数发展起来的数学著作可能就存在了。1983年底在湖北江陵张家山西汉墓中出土的《算数书》，是我国目前所见最早的数学著作，其中有许多内容与《九章算术》相似，有些标题和算题甚至完全一致。由于该书文字古朴，一般认为很可能是先秦著作或录自先秦著作。

汉代成书的《九章算术》，是先秦至西汉数学知识的总结和升华，在数学的许多方面取得了在当时世界领先的成就，确立了中国古代以计算为中心的数学体系。另外，我们前面谈到的《周髀算经》，由于其中的数学内容，也被后世视为重要的数学著作。

《九章算术》产生以后，我国古代数学研究有过两次高潮，第一次是在魏晋南北朝时期。这一时期数学著作的一大特点是为《九章算术》、《周髀算经》作注。据《隋书·经籍志》记载，仅注《九章算术》的著作就有八种。魏晋南北朝时期，由于战乱不断，政治斗争严酷，致使一些人采取以静制动的方针周旋于纷乱复杂的社会之中，于是清谈之风盛行。在思想领域，儒家的统治地位被削弱，取而代之的是以《周易》、《老子》、《庄子》为主的玄学。玄学力图通过抽象的思辨来论证现实世界的后面有一个产生和支配现象世界的本体，即世界的本原和根本规律。与之相适应，数学家们也开始重视数学理论的研究，试图把以前积累的数学知识建立在必然性的基础之上，三国赵爽的《周髀算经注》和晋代刘徽的《九章算术注》就是典型代表。在这一时期，还出现了一些新的数学著作，弥补了《九章算术》所未涉及的内容，开创了数学研究的新的分支。其中即有刘徽的《海岛算经》。该书原本附于《九章算术注》之后，后人将它独立成书。书中讨论了由《周髀算经》测日高法发展而来的重差术，并因书中首题是测量一海岛的高远而得名。《孙子算经》，约成书于公元400年前后，记述了筹算记数制度和乘除法则、分数和开方等。其中最著名的是“物不知数”题，书中提示的解法被后世推广成一次同余式组解法，由于是本书中首先提出这一课题，因此被史家称为“孙子定理”。《张丘建算经》，公元5世纪张丘建所著，主要成就是最大公约数与最小公倍数的应用、等差级数、开带从平方和不定方程等，著名的“百鸡问题”就是出于此书。北周甄鸾著有《五曹算经》、《五经算术》、《数术记遗》三种数学著作。《五曹算经》是一部为地方行政官员编写的应用算术书，其中有十进制小数的萌芽；《五经算术》对儒家经典中需要数学知识的部分作了注释；《数术记遗》介绍了三种大数进位制及14种算法，反映了当时改进计算工具的历史情况。这一时期还有许多数学著作没能流传到今天，比较著名的有《夏侯阳算经》、祖冲之的《缀术》、董泉的《三等数》，前二种被收入唐代的“算经十书”，后一种在唐代也是教科书。《缀术》在数学上的成就极高，书中将圆周率精确到3.1415926到3.1415927之间，同时在球体积问题、二三次方程正负系数的开方问题等方面都有重大突破。

隋唐统治者在国子监设算学馆，在科举考试中设明算科，唐代还将汉唐间的十部重要数学著作加以整理注释，作为算学馆的教科书。这十部著作是《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》。其中《缉古算经》是唐初王孝通所著，书中20个问题大部分用高次方程求解，是现存最早的介绍开带从立方(即求三次方程的正根)的数学著作。中唐以后，由于工商业有较大发展，人们对简化筹算计算过程的要求较为迫切，于是出现了不少有关实用数学的著作，如龙受益的《算法》、江本的《一位算法》、陈从运的《得一算经》等。但是这些著作都没能传到今天，只有韩延的一部算书因原来的《夏侯阳算经》失传，被冠以《夏侯阳算经》之名补入“算经十书”，才流传下来。该书中记载了相当多的捷算方法，并对十进小数进行了推广。总的来说，唐代数学研究的成就不高。除了一行等人的二次内插法外，没有什么重大突破。究其原因，是唐代统治者对数学的重视不够，习学数学的人社会地位非常低，远不如以儒家经典和诗词歌赋中举的人地位高。但是，唐代对古代算书的整理以及算学知识的普及却为宋元数学的发展奠定了基础。

宋元时期，社会相对稳定，经济稳步发展，特别是工商贸易的发达，对实用数学知识的渴求，为数学发展创造了条件。当时出现了许多“捷法”和“歌诀”等，以帮助人们迅速掌握各种记算方法。另外，在这一时期，印刷术已得到广泛应用，并且发明了活字印刷，促进了数学著作的刊印。宋元丰七年(公元1084年)，秘书省刊刻了十部算经，作为学校的课本，这是印刷本算书在我国首次出现。当时数学家撰写的数学著作大都能在成书不久就刊印行世。数学著作凭借印刷术得以空前广泛地流传。在这种背景下，宋元数学研究掀起了又一次高潮，特别是在13世纪下半叶，涌现出了秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰等一批杰出的数学家，一时间群星闪烁，成就辉煌，可以说是中国古代数学发展中一个登峰造极的阶段。11世纪上半叶贾宪《黄帝九章算经细草》的问世，标志着我国算法系统在代数学上的飞跃，书中创造的求高次方程系数的“开方作法本源图”(贾宪三角)和增乘开方法超越其他民族几个世纪。差不多同时期的沈括在《梦溪笔谈》中首创隙积术，开创了高阶等差级数求和这一新的分支，还提出了弓形弧长的近似公式。蒋周著的《益古集》用二次方程解决圆的各种关系问题，对天元术的发展也做出了贡献。12世纪刘益的《议古根源》再次引入负系数方程，并创造了益积开方术和减从开方术，南宋杨辉称之为“实冠前古”。南宋时期，由于宋辽、宋金、宋元在政治上长期南北对峙，因此数学研究也形成了南北两个中心。南方中心以秦九韶、杨辉为代表，以高次方程数值解法、同余式解法及改进乘除捷法为主要研究对象。秦九韶的著作是《数书九章》，其中有两项举世瞩目的重要成就，一个是首次系统解决了一次同余式组的解法，一个是提出了求高次方程正根的完整方法。杨辉的著作很多，主要的有《详解九章算法》和《乘除通变本末》、《田亩比类乘除捷法》、《续古摘奇算法》。后三部是杨辉晚期作品，后世合称《杨辉算法》。在杨辉的著作中，收录了不少现已失传的各种数学著作中的算题和算法，如贾宪的“增乘开方法”和“开方作法本源图”等，并且在二阶等差级数和乘除简捷算法上都取得了很高的成就。北方数学中心以李冶为代表，以列高次方程的天元术及其解法为主要研究对象。李冶在前人的基础上，系统地总结了天元术。他的《益古演段》和《测圆海镜》是现存最早讲述天元术的著作，前者是为初学天元术的人写的入门著作；后者则借助勾股、方圆等几何关系建立高次方程，从而全面系统地介绍天元术的理论和算法，其中丰富的几何内容和演绎推理的倾向为古代数学著作中罕见。元统一中国后，南北数学的交流就成了顺理成章的事。朱世杰就生活在这一环境下。他有两部著作，《算学启蒙》是一部数学启蒙读本，包括了从乘除捷法到增乘开方、天元术、高阶等差级数求和等当时数学各方面的内容；《四元玉鉴》是朱世杰的成名作，其中介绍了二、三、四元高次方程的布列和解法，并在高阶等差级数求和问题上有重大突破，两项成就都早于西方数百年，成为宋元数学高峰的代表作。

从明代开始，中国古典数学开始衰落，当时的数学著作也不少，但在创造性上远不及宋元算书。不过，这一时期的数学仍有两件影响深远的大事。一件是1408年编修《永乐大典》，将明代以前的数学著作分类抄入，许多数学著作都赖此才得以留传到今天。另一件是随着筹算简捷算法的日臻完备，珠算法也得到了发展和普及。如吴敬的《九章算法比类大全》、王文素的《通证古今算学宝鉴》、朱载堉〔yu育〕的《算学新书》等，除了介绍筹算方法外，都提到了珠算。特别是程大位于公元1592年写成的《算法统宗》，系统地介绍了算盘的使用方法，曾风行一时，流传甚广。